Vieta Formülleri

mum · 18 Ocak 2018

Vieta Formülleri - Vieta Formülleri Nedir

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Eğer
$16b40ba801bda800b4e6cdafc811b03c.png$
derecesi
$fe37f48a6bb040c06c5e7ccaac63bc66.png$
olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani
$a42f183a5416e902e3e5582d88dd59d8.png$
sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler:
$e45a8204d9a058b07c0bf9918d266697.png$
Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

$3a290dda12810776f3644a4484d97698.png$

Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

$9274c5d51e4e10ab6a1361232ff59dc5.png$
şeklinde her
$f4131ade5a4fb13fa63ecce6d9eff4f3.png$
yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

$9d7abdfe24fd93c51013c00ee24f1c26.png$
Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı
Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:
$d81235b6992150f1de50a84306bf756f.png$
bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, X.'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Arama Yap

Arama Yap

Vieta Formülleri

mum

Özel Üye