A. TANIM n bir doğal sayı ve a0
a1
a2
...
an 1
an birer gerçel sayı olmak üzere
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an 1xn 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı
gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an 1xn 1+anxn
olmak üzere
Ü a0
a1
a2
...
an1
an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
Ü a0
a1x
a2x2
...
an1xn 1
anxn in her birine polinomun terimleri denir.
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı
bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an1 = 0 ise
P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an 1 = an = 0 ise
P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre
fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x
y) = 3xy2 2x2y x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri topl******* en büyük olanına polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + ve sabit terimi P( dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 + ...
Q(x) = bnxn + bn 1xn 1 + bn 2xn 2 + ...
olmak üzere
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an 1 + bn1)xn 1 + ...
P(x) Q(x) = (an bn)xn + (an 1 bn1)xn 1 + ...
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı
birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise
P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi
sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;
Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinom soldan ilk terimi
bölen polinomun ilk terimine bölünür.
Bulunan bu bölüm
bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak
aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
Bulunan sonuç
bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
Yukarıdaki işlemlere
kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu
klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için
polinomda değişken yerine yazılır.
P(x) in x b ile bölümünden kalan P( dir.
P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa
her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x . (x c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise
P(x) = a(x . (x c) . Q(x) + mx + n olur.
P( = mb + n ... (1)
P© = mc + n ... (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n 1) dir.3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + n İle Tam Bölünüyorsa
(n Î N+)
P(x) = axn + bxm + d ise
Pı(x) = a . nxn1 + b . mxm1 + 0
Pıı(x) = a . n . (n 1)xn 2 + b . m(m 1) . xm 2 dir.
P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1
Q(x) polinomunun (x ile bölümünden kalan k2 ise
P(x) in (x a) (x ile bölümünden kalan
K(x) = (x a) k2 + k1 olur.
G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a
b
c
d
e
f A
B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere
eşitliğinde A yı bulmak için
A nın paydasının kökü bulunur.
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.
Aynı işlemler B için de yapılır.
H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre
der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise
der[B(x)] = m n dir.
k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
der[P(kx)] = m
k ¹ 0 dır.
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an 1xn 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an 1xn 1+anxn
olmak üzere
Ü a0
Ü a0
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an1 = 0 ise
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an 1 = an = 0 ise
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri topl******* en büyük olanına polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + ve sabit terimi P( dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 + ...
Q(x) = bnxn + bn 1xn 1 + bn 2xn 2 + ...
olmak üzere
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an 1 + bn1)xn 1 + ...
P(x) Q(x) = (an bn)xn + (an 1 bn1)xn 1 + ...
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi
Bunun için;
Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinom soldan ilk terimi
Bulunan bu bölüm
Bulunan sonuç
Yukarıdaki işlemlere
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için
P(x) in x b ile bölümünden kalan P( dir.
P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa
P(x) polinomunun a(x . (x c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise
P(x) = a(x . (x c) . Q(x) + mx + n olur.
P( = mb + n ... (1)
P© = mc + n ... (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n 1) dir.3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + n İle Tam Bölünüyorsa
P(x) = axn + bxm + d ise
Pı(x) = a . nxn1 + b . mxm1 + 0
Pıı(x) = a . n . (n 1)xn 2 + b . m(m 1) . xm 2 dir.
P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1
P(x) in (x a) (x ile bölümünden kalan
K(x) = (x a) k2 + k1 olur.
G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a
eşitliğinde A yı bulmak için
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.
Aynı işlemler B için de yapılır.
H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre
der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise
k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
der[P(kx)] = m