MATEMATİĞİN TARİHİ
Tarih Öncesi Çağlarda Aritmetik
Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devrine kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar
hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar .Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı .Avlanmak ve balık tutmak için silahları
birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler .Yontma Taş Devrinin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler .Fransa ve İspanyadaki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı olabilir
ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki
yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı .Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smithin insan aklının ürünü en soyut düşünceler olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; bir insan değil sadece insan kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3
2 ile 2 toplanarak 4
2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea
2 =petcheval
3 =petcheval-enea
4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma
2 =bulan
3 =guliba
4 =bulan bulan
5 =bulan guliba
6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar
ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim .Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup
bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12
10 + 2 olarak ya da 9
10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146sı onluk
106sı onluk
onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra
onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım .Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksikada Mayalar ve Avrupada Keltler tarafından kullanıldı .
Sayılar kümelere ayrılarak
tahtanın üstüne çentik
ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5
10
20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır .
Yontama Taş Devrine kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937de Vestonicada bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda
önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı .Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu .
Böylece
sık sık söylenen eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı . görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu .Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrindeki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5erli 10arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4
bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20nin 10+10 değil de 210 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı .Bölme
10un vücudun yarısı olarak gösterilmesiyle başladı
ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi .Kuzey Amerikada kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu
çoğu durumda bu ½ydi .Bazen 1/3
ya da ¼de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncilde ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar .
Tarih Öncesi Çağlarda Geometri
Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince
genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak ; parmak
ayak
karış gibi basit ölçüler kullanıldı .Arşın
kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır .Ev yaparken Hint köylüleri de
Orta Avrupada kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler .Örneğin ; Düz sözcüğü germek sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir .Doğru ve Keten kumaş sözcükleri
dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir .Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi .
Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması
sazların örülmesi
sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı
daha sonra da metallerin işlenmesi
düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi .Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devrinde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; eş şekiller kullanılırdı .Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar
bazılarında ise kutsal sayılar yer alıyordu .Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır .
Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır .Bunların çok güzel örneklerine Giritteki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında
daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde
Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir
ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır .
Taş Devri dinlerinde
doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda
heykel
müzik ve resimlerde içeriliyordu .3
4
7 gibi sihirli sayılar
Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı .Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar
matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir .Modern sayı bilimi
Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devrinin büyü törenlerinin mirasıdır .
Zaman Kavramı
En ilkel kabilelerde bile bir zaman kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi .Bu bilgiler
çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya başladı .Bitkilerdeki değişimlerin Aydaki değişimlerle ilişkilendirildiği Ay takviminin kullanılması
insanlık tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanır .İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi yıldızlı Süreyya burcunun yükselişini ilgiyle izliyordu .İlk uygarlıkları kuran insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanıyordu .İlk insanlar
takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar .Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin
dairenin ve açısal yönlerin özellikleri hakkında bilgi edinildi .
Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin
şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla çakışmayabileceğini göstermektedir .İnsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi gösterilmiştir .Öte yandan
grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel dallarının başlangıcı modern zamanlardadır .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda şöyle düşünmektedir :
Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir ; çünkü yaratıcı bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler .
ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ
Doğu Matematiği
Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanması
tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi
vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte
yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken
soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı .Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu
aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi .Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu .
Mısır Matematiği
Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür .Bu elyazmaları düzenlenirken
içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden
hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi .Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10dan büyük her 10lu birim için özel simgeler kullanılıyordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan Mısırlılar
çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen
toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi .Örneğin
bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı .Bu işlemi yaparak inceleyelim :
Normal çarpma işlemi :313=39
Mısırlıların kullandığı yöntem :
3x4 =12
3x8 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldüğü gibi sonuç aynı .Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır .Bütün kesirler
payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı .
Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu .Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında
her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi
her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem
geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu .
Böyle problemler için yazılmış şiirler
şarkılar bile vardır .Şu şiiri anımsayalım :
St. Ivese giderken
7 karısı olan bir adamla karşılaştım
Her karısının yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vardı
Her yavrununda yedi çıngırağı vardı
Yavrular
kediler
sepetler
kadınlar ve çıngıraklar
Kaç tanesi St. Ivese gidiyordu ?
Mezopotamya Matematiği
Mezopotamya matematiği
Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti .Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10lu sistemin üzerine 60lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı .1
60
3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı .Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi .Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken
Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı .
Ayrıca 60lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu .Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de
dairenin 360 dereceye
her derecenin 60 dakikaya
her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerlilere kadar uzanır .Birim olarak 10 yerine 60ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir .
MISIR HİYEROGLİFLERİ
Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir .
Eski Mısır Hiyerogliflerinden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır .Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar
sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı .Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de
yine büyük bir olasılıkla
yan yana sıralanmış yapraklar
ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı .Neden mi böyle düşünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde
yaprak ip parçaları
çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar .
SİHİRLİ MATEMATİK
Sayılar şaşmaz .Bu matematiğin temelidir .Hüner
bu sayıları yerinde kullanabilmekte ve aralarındaki bağıntıların özelliğini tanıyabilmektedir .
Biz de istersek
küçük bir çaba ile matematiğin sihirli yönünü tanıyabiliriz .Tam sayılar arasındaki dört işlemi yapabilen her öğrenci bu matematik oyunlarını öğrenebilir ve uygulayabilir .
Oyun 1 :Karşınızdakinin hangi ay ve günde doğduğunu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki karşınızdaki şu isteğinizi sırasıyla yerine getirsin .
Doğduğu ay kaçıncı ay ise onu 5 ile çarpsın .7 eklesin .4 ile çarpsın .Sonra 13 eklesin .5 ile çarpsın .Çıkan sayıya doğum gününü eklesin .Çıkan sayıyı sorun ve bu sayıdan 205 sayısını çıkarmasını isteyin .Sonuçta ilk rakam doğduğu ay
diğer iki rakam ise doğum günüdür .
Oyun2 :Arkadaşınızın yaşı ile birlikte ev numarasını da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numarasını iki ile çarpsın .Haftanını günlerini eklesin .Çıkanı 50 ile çarpsın .Yaşını eklesin 365 çıkarsın .15 eklesin .Elde edilen sayının son iki rakamı yaş ondan öncekiler ev numarasıdır .
Oyun3
oğunuz doğum gününüzün yılın kaçıncı ayı ve günü olduğunu bilirsiniz de Bunun haftanın hangi gününe rastladığını kesin olarak bilemezsiniz .Ya da tarih kitaplarında şöyle bir tarih görürsünüz .4 Temmuz 1862 .Acaba bu tarih haftanın hangi gününe rastlıyor diye merak edersiniz .Şimdi yapacağımız işlem bu günü bulamamızı sağlayacaktır .
Doğum yılınızın son iki rakamını yazın .Örneğin
siz 1990da mayısın 25inde doğmuş olsanız
ilk yazacağınnız sayı 90dır .Bunu dörde bölün .Artan varsa atıp tam bölümü alın .Örnekte bu 22dir .Aşağıda anahtarını verdiğimiz doğuma ayına ait rakamı alın .Bu örnekte anahtar 2dir .Ayıncı kaçıncı gününde doğmuşsanız o sayıyı da alın .Bu örnekte 25dir .Şimdi 1
2
3
4 numaralı anlatımlardaki sayıları toplayın .Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakamı 7ye bölün .Bölümü atın
kalanı alın .Kalan sayıyla 2.sonuç levhasında doğum gününüzü bulabilirsiniz .
Anahtar Sayılar :Ocak 1
Şubat 4
Mart 4
Nisan 0
Mayıs 2
Haziran 5
Temmuz 0
Ağustos 3
Eylül 6
Ekim 1
Kasım 4
Aralık 6 .
Sonuç Levhası : 2 Pazartesi
3 Salı
4 Çarşamba
5 Perşembe
6 Cuma
0 Cumartesi
1 Pazar .
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Doğum yılınız artık yıl yani 366 günlük yıl ise
anahtar levhasında şu değişikliği yapınız : Ocak 0
Haziran 3 .
MATEMATİK BİLEN ALDANMAZ
A. Paulos birincisi kurmaca
ikincisi gerçek olan iki öykü anlatıyor .
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmiş dolaşıyorlar .Biri diğerine
Bulabildiğin en büyük sayıyı söyle bakalım diyor . İkincisi biraz düşündükten sonar sevinçle ÜÇ diye haykırıyor .Soru soran bir süre düşündükten sonar
pes ediyor ve oyunu kaybediyor .
İkinci öyküyse
matematikçi G. H. Hardyyle başka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujanı ziyarete gitmiş .Laf olsun diye söze şöyle başlamış : Gelirken bindiğim taksinin numarası çok sıradandı :1729 Romanujan hemen atılmış :Sıradan olur mu hiç ?
Son derece ilginç bir sayı bu ! İki farklı biçimde iki sayının küpünün toplamı olarak yazılabilecek en küçük sayı bu !(Meraklıları için verelim .12 ve 1
10 ve 9un küpleri sonucu sağlıyor.)
Ramanujan
büyük sayılarla bile karmaşık işlemler yapmada ustalaşmış biriydi .Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes ettiğine gore belli ki 3ten daha büyük bir sayı hayal edemiyor .Bu ilk bakışta inanılmaz gibi görünebilir .Yine de hemen aldanmayın .Avustralyadaki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3e kadar bile tam anlamıyla sayamıyorlar .Bu insanların dillerinde sadece 1 ve 2yi anlatan sözcükler var .3 için biriki
4 için ikiiki .4ten sonraki tüm sayılar ise çok .Aslında çok büyük sayıları anlatmanın çok çeşitli yolları var .Sözgelimi birin peşine kaç tane 0 koyduğumuzu söyleyebiliriz .
CANLI HESAP MAKİNELERİ
Bazılarının inanılmaz ölçüde güçlü bir belleği vardır .Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolaylık sağlayacak kısayollar biliyorlardı .Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazlıktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarlıyorlardı .Bu kişiler gerçekte biraz farklı insanlardır .Örneğin
bundan iki yüzyıl once yaşamış İngiliz J.Buxton yoksul bir çifçiydi .Hiçbir zaman okuma ve yazma öğrenmedi
hatta kağıda bir rakam yazmayı bile bilmiyordu .Gelgelelim
insanların ona sayılarla ilgili ne kadar olağandışı ve beklemedik olursa olsun
sordukları soruların hepsine yanıt verebiliyordu .Örneğin
bir tarla dolusu saç telinin ne kadar olabileceği sorusunu hemencecik yanıtlayabiliyordu . (Tabii ki bunu gerçekten saymaya kimsenin niyeti yoktu .)
Bir gün arkadaşları çiftçiyi Londraya bir tiyatroya götürdüler .Oyunun sonunda Buxton arkadaşlarına baş erkek oyuncunun 144445 sözcük söylediğini ve 5202 adım attığını söyledi .Tabii oyunda ne olduğuyla hiç ilgilenmemiş yalnızca saymıştı .Yıllar once sayılarla arası iyi olan bu insanlar bir bilgisayar olarak çalışıyorlardı .Bu insanların yerini şimdi makinelerin aldığını duymak bizi şaşırtmıyor .
Biz Neler Yapababiliriz ?
Aslında çok iyi bir belleğe sahip olmadıkça
bu tür işlemleri yazmadan yapmak olanaksızdır .Ama yine de matematiksel işlemlerde birkaç kısayol bilirsek
işlemleri kolayca akıldan yapabiliriz .Bu durum kısa sure sonar bir oyuna da dönüşecektir .Gerçekten de
fazla sayıda kısayol bulabilirseniz belki de siz de arkadaşlarınıza geçmişte yapıldığı gibi bir gösteri sunabilirsiniz .
Bu kısa yollardan en ünlüsü 11 ile yapıla çarpma işlemidir . Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarptığınız diğer sayılara (11
12
13
14 ve 15) ve çarpımın sonuçlarındaki sayıların ortalarındaki sayılara bakalım .Örneğin 11.12 işleminde sonuç 132
12nin 1 ve 2 sayılarının toplamı yani 3
132 sayısında ortaya geliyor ve 1 ve 2de sırayla 3ün yanlarına yerleşiyor .Çok kolay
ASAL SAYILAR
Bir asal sayı
birden büyük olan ve yalnızca 1e ve kendisine tam olarak bölünebilen sayıdır .Asal sayıları bulmak için bir sürü bölme işlemi yapmak gerekebilir .Ama biz bunu çizerek de yapabiliriz .
1.Bir sayı seçelim .Bu sayıyı yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim .Örneğin 3 sayısını seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak göstereceğiz .
2 .Şimdi bu küçük kareleri düzenlemenin farklı yollarını arayalım .Herhengi bir sayının asal sayı olup olmadığını yaptığımız karelere bakarak anlamanın tek bir yolu var :Eğer küçük karelerle dikdörtgen oluşturmanın kareleri yanyana dizmekten başka bir yolu varsa bu sayı asal sayı değildir .
Asal sayılar sonsuz sayıdadır .Tıpkı 2ye bölünebilen ya da 3e bölünebilen sayıların sonsuz sayıda olması gibi .Sayılar büyüdükçe yalnızca bir bilgisayar bunları aramak için gerekli zamana ve sabra sahip olabilir .Bir insanın bütün o hesaplamaları yapmas uzun yıllar sürer .Yakın bir zamanda ABDde bir bilgisayar yardımıyla şimdiye kadar bulunmuş asal sayıların en büyüğü keşfedildi .Bu sayı 2nin 859 433 kez çarpılmasıyla ortaya çıkan sayıdan 1 çıkarılmasıyla elde ediliyor .258 716 basamaklı bu sayı öylesine uzun ki ancak sekiz gazete sayfasına sığdırılabiliyor .
Alıntıdır.
Tarih Öncesi Çağlarda Aritmetik
Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devrine kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smithin insan aklının ürünü en soyut düşünceler olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; bir insan değil sadece insan kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea
Kamilaraoi : 1 =ma
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar
Sayılar kümelere ayrılarak
Yontama Taş Devrine kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937de Vestonicada bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda
Böylece
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5erli 10arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4
ya da ¼de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncilde ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar .
Tarih Öncesi Çağlarda Geometri
Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince
Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması
Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır .Bunların çok güzel örneklerine Giritteki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında
Taş Devri dinlerinde
Zaman Kavramı
En ilkel kabilelerde bile bir zaman kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi .Bu bilgiler
Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin
Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir ; çünkü yaratıcı bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler .
ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ
Doğu Matematiği
Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanması
Mısır Matematiği
Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür .Bu elyazmaları düzenlenirken
Normal çarpma işlemi :313=39
Mısırlıların kullandığı yöntem :
3x4 =12
3x8 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldüğü gibi sonuç aynı .Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır .Bütün kesirler
Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu .Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında
Böyle problemler için yazılmış şiirler
St. Ivese giderken
7 karısı olan bir adamla karşılaştım
Her karısının yedi sepeti
Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vardı
Her yavrununda yedi çıngırağı vardı
Yavrular
Kaç tanesi St. Ivese gidiyordu ?
Mezopotamya Matematiği
Mezopotamya matematiği
Ayrıca 60lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu .Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de
MISIR HİYEROGLİFLERİ
Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir .
Eski Mısır Hiyerogliflerinden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır .Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar
SİHİRLİ MATEMATİK
Sayılar şaşmaz .Bu matematiğin temelidir .Hüner
Biz de istersek
Oyun 1 :Karşınızdakinin hangi ay ve günde doğduğunu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki karşınızdaki şu isteğinizi sırasıyla yerine getirsin .
Doğduğu ay kaçıncı ay ise onu 5 ile çarpsın .7 eklesin .4 ile çarpsın .Sonra 13 eklesin .5 ile çarpsın .Çıkan sayıya doğum gününü eklesin .Çıkan sayıyı sorun ve bu sayıdan 205 sayısını çıkarmasını isteyin .Sonuçta ilk rakam doğduğu ay
Oyun2 :Arkadaşınızın yaşı ile birlikte ev numarasını da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numarasını iki ile çarpsın .Haftanını günlerini eklesin .Çıkanı 50 ile çarpsın .Yaşını eklesin 365 çıkarsın .15 eklesin .Elde edilen sayının son iki rakamı yaş ondan öncekiler ev numarasıdır .
Oyun3
Doğum yılınızın son iki rakamını yazın .Örneğin
Bu rakamı 7ye bölün .Bölümü atın
Anahtar Sayılar :Ocak 1
Sonuç Levhası : 2 Pazartesi
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Doğum yılınız artık yıl yani 366 günlük yıl ise
MATEMATİK BİLEN ALDANMAZ
A. Paulos birincisi kurmaca
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmiş dolaşıyorlar .Biri diğerine
İkinci öyküyse
Ramanujan
CANLI HESAP MAKİNELERİ
Bazılarının inanılmaz ölçüde güçlü bir belleği vardır .Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolaylık sağlayacak kısayollar biliyorlardı .Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazlıktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarlıyorlardı .Bu kişiler gerçekte biraz farklı insanlardır .Örneğin
Bir gün arkadaşları çiftçiyi Londraya bir tiyatroya götürdüler .Oyunun sonunda Buxton arkadaşlarına baş erkek oyuncunun 144445 sözcük söylediğini ve 5202 adım attığını söyledi .Tabii oyunda ne olduğuyla hiç ilgilenmemiş yalnızca saymıştı .Yıllar once sayılarla arası iyi olan bu insanlar bir bilgisayar olarak çalışıyorlardı .Bu insanların yerini şimdi makinelerin aldığını duymak bizi şaşırtmıyor .
Biz Neler Yapababiliriz ?
Aslında çok iyi bir belleğe sahip olmadıkça
Bu kısa yollardan en ünlüsü 11 ile yapıla çarpma işlemidir . Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarptığınız diğer sayılara (11
ASAL SAYILAR
Bir asal sayı
1.Bir sayı seçelim .Bu sayıyı yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim .Örneğin 3 sayısını seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak göstereceğiz .
2 .Şimdi bu küçük kareleri düzenlemenin farklı yollarını arayalım .Herhengi bir sayının asal sayı olup olmadığını yaptığımız karelere bakarak anlamanın tek bir yolu var :Eğer küçük karelerle dikdörtgen oluşturmanın kareleri yanyana dizmekten başka bir yolu varsa bu sayı asal sayı değildir .
Asal sayılar sonsuz sayıdadır .Tıpkı 2ye bölünebilen ya da 3e bölünebilen sayıların sonsuz sayıda olması gibi .Sayılar büyüdükçe yalnızca bir bilgisayar bunları aramak için gerekli zamana ve sabra sahip olabilir .Bir insanın bütün o hesaplamaları yapmas uzun yıllar sürer .Yakın bir zamanda ABDde bir bilgisayar yardımıyla şimdiye kadar bulunmuş asal sayıların en büyüğü keşfedildi .Bu sayı 2nin 859 433 kez çarpılmasıyla ortaya çıkan sayıdan 1 çıkarılmasıyla elde ediliyor .258 716 basamaklı bu sayı öylesine uzun ki ancak sekiz gazete sayfasına sığdırılabiliyor .
Alıntıdır.