1. KAÇA KADAR SAYABİLİRSİNİZ?
En büyük sayıyı söyleyebilenin kazanacağı bir oyun oynamaya karar veren iki Macar soylusuyla ilgili bir öykü vardır.
Biri "Pekâlâ, önce sen sayını söyle" der.
İkinci soylu, birkaç dakika sonra, sıkı bir zihinsel çalışma sonunda düşünebildiği en büyük sayıyı söyler, "Üç".
Şimdi düşünme sırası birinciye gelmiştir ama o, bir çeyrek saat kadar düşündükten sonra bırakır.
"Pekâlâ, sen kazandın" der.
Kuşkusuz, bu iki Macar soylu, yüksek bir akıl düzeyini temsil etmemektedir (2) belki de bu öykü bilerek uydurulmuş bir karalamadır. Ama böyle bir konuşma, bunlar Macar değil de Hotantolu olsalardı gerçekten olabilirdi. Afrika'yı bulanların yetkiyle bildirdiklerine göre, birçok Hotanto kabilesinin sözlüğünde üçten büyük sayıların adları yoktur. Ora yerlilerinden birine kaç oğlu olduğunu ya da kaç düşmanını öldürdüğünü sorun, sayıları üçten çoksa yanıtı "birçok" olacaktır. Öyleyse, Hotantolar ülkesinde vahşi bir savaşçı sayı sayma konusunda, ana okulu yaşında ve daha ona kadar sayabilen bir Amerikalı çocukla başa çıkamayacaktır.
Bugün bizler, büyük sayıları ister savaş giderlerini kuruş cinsinden, isterse yıldız uzaklıklarını santimetre cinsinden göstermek için olsun bir rakamın sağına yeteri kadar sıfır koyarak yazabileceğimiz fikrine alışmışızdır. Elimiz yoruluncaya kadar sıfır koymayı sürdürebilir ve bilmeden evrendeki atomların sayısından, (3) 300,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000, da büyük bir sayı elde edebiliriz.
Ya da bunu kısaca 3.l074 biçiminde yazabiliriz.
Burada, 10'un sağ üstünde bulunan küçük 74 sayısı 3'ün sağına bu kadar sıfır yazılacağını ya da 3'ün 74 kez 10 ile çarpılacağını gösterir.
Ama bu aritmetik kolaylık, yüzyıllar önce bilinmiyordu. Gerçekten, bu yöntem, iki bin yıl kadar bir zaman önce, adı bilinmeyen Hint'li bir matematikçi tarafından bulunmuştur. Bu buluştan önce (biz ayrımsayamıyor olsak da bu büyük bir buluştur) sayılar, şimdi ondalık birim dediğimiz, her bir basamak için ayrı bir işaret kullanarak ve bu basamaktaki birimleri bildirmek için o basamak işaretini gerektiği kadar yineleyerek yazılırdı. Örneğin 8732 sayısını eski Mısırlılar şöyle yazarlardı:


Oysa Sezar'ın sarayında bir sayman aynı sayıyı M M M M M M M M D C C X X X I I biçiminde yazacaktı.

Görkemli anıt plakalarında, olay tarihini gösteren Romen rakamları bulunduğuna ve kimi kitapların ciltleri ya da bölümleri hâlâ bu rakamlarla gösterildiğine göre, ikinci yazış biçimi size pek de yabancı gelmeyecektir. Eski insanların sayma gereksinimleri birkaç bini aşmadığından, o zamanlarda daha büyük ondalık basamaklar için özel işaretler bulunmuyordu. Eski Romalı, en iyi biçimde matematik eğitimi almış olsa da, bir milyon yazmaya zorlandığında, bu isteği yerine getirebilmek için yapacağı en iyi şey, birkaç saatlik yorucu bir iş olmasına karşın, bin tane "M" harfini sırayla yazmak olacaktı (Şekil 1).



Augustus Caesar (Sezar)'a benzeyen bir eski Romalı, Romen rakamlarıyla "bir milyon" yazmaya çalışıyor. Duvar tablasındaki elverişli alan ancak "yüz bin" yazmaya yeterli

Bu yüzyıllarda yaşayanlar için gökteki yıldızların, denizdeki balıkların ya da sahildeki kumların sayısı gibi büyük sayılar "sayılamaz"dı, Hotantolunun "beş" için dediği gibi sadece "çok"tu!
İ.Ö. üçüncü yüzyılın ünlü bilgini Archimedes (Arşimet) üstün zekâsıyla, gerçekten büyük sayıların yazılabileceğini gösterdi. The Psammites (Kumtaşları) ya da Sand Reckoner (Kum Sayıcı) adlı bilimsel kitapçığında Arşimet şöyle diyor:
"Kum taneciklerinin çokluk bakımından sonsuz olduğunu düşünenler vardır; ve ben kum derken yalnızca Siraküza ve Sicilya'nın öteki kısımlarındaki kum tanelerini değil yeryüzünde, üzerinde oturulsun ya da oturulmasın bütün ülkelerde bulunabilecek kum tanelerini anlıyorum.Yine kimi kişiler sayıların sonsuzluğunu dikkate almayarak bütün yeryüzündeki kum tanelerinin sayısını bildirecek büyüklükte bir sayının söylenemeyeceğini düşünürler. Bu görüşte olanlara göre, dünyanın bütün çukurlarım, denizlerini dolduran en yüksek dağların tepelerine kadar yükselebilen ve yeryüzünün bütün kütlesini karşılayan büyüklükte bir kum kütlesindeki tanelerin sayısı düşünülürse bunu karşılayacak bir sayının olmayacağı daha iyi anlaşılır. Ama, size şimdi söyleyeceğim ve adlandıracağım sayının,

Görkemli anıt plakalarında, olay tarihini gösteren Romen rakamları bulunduğuna ve kimi kitapların ciltleri ya da bölümleri hâlâ bu rakamlarla gösterildiğine göre, ikinci yazış biçimi size pek de yabancı gelmeyecektir. Eski insanların sayma gereksinimleri birkaç bini aşmadığından, o zamanlarda daha büyük ondalık basamaklar için özel işaretler bulunmuyordu. Eski Romalı, en iyi biçimde matematik eğitimi almış olsa da, bir milyon yazmaya zorlandığında, bu isteği yerine getirebilmek için yapacağı en iyi şey, birkaç saatlik yorucu bir iş olmasına karşın, bin tane "M" harfini sırayla yazmak olacaktı (Şekil 1).



Augustus Caesar (Sezar)'a benzeyen bir eski Romalı, Romen rakamlarıyla "bir milyon" yazmaya çalışıyor. Duvar tablasındaki elverişli alan ancak "yüz bin" yazmaya yeterli

Bu yüzyıllarda yaşayanlar için gökteki yıldızların, denizdeki balıkların ya da sahildeki kumların sayısı gibi büyük sayılar "sayılamaz"dı, Hotantolunun "beş" için dediği gibi sadece "çok"tu!
İ.Ö. üçüncü yüzyılın ünlü bilgini Archimedes (Arşimet) üstün zekâsıyla, gerçekten büyük sayıların yazılabileceğini gösterdi. The Psammites (Kumtaşları) ya da Sand Reckoner (Kum Sayıcı) adlı bilimsel kitapçığında Arşimet şöyle diyor:
"Kum taneciklerinin çokluk bakımından sonsuz olduğunu düşünenler vardır; ve ben kum derken yalnızca Siraküza ve Sicilya'nın öteki kısımlarındaki kum tanelerini değil yeryüzünde, üzerinde oturulsun ya da oturulmasın bütün ülkelerde bulunabilecek kum tanelerini anlıyorum.Yine kimi kişiler sayıların sonsuzluğunu dikkate almayarak bütün yeryüzündeki kum tanelerinin sayısını bildirecek büyüklükte bir sayının söylenemeyeceğini düşünürler. Bu görüşte olanlara göre, dünyanın bütün çukurlarım, denizlerini dolduran en yüksek dağların tepelerine kadar yükselebilen ve yeryüzünün bütün kütlesini karşılayan büyüklükte bir kum kütlesindeki tanelerin sayısı düşünülürse bunu karşılayacak bir sayının olmayacağı daha iyi anlaşılır. Ama, size şimdi söyleyeceğim ve adlandıracağım sayının,

yukarıda belirtildiği gibi yalnız dünyanın kütlesini karşılayan miktarda değil, bütün evrenin kütlesine bile eşit olabileceğini göstermeye çalışacağım."
Arşimet'in bu ünlü çalışmada öne sürdüğü çok büyük sayıları yazma yöntemi, modern bilimdeki çok büyük sayıları yazma yöntemine benziyor. O, eski Yunan aritmetiğinde bulunan en büyük sayıyla başlıyor: bir "myriad" ya da on bin. Sonra yeni bir sayı tanıtıyor, "myriad myriad" (yüz milyon) ve buna "octade" (bir sekizlik) ya da "ikinci sınıf birim" diyor. "Sekizlik kere sekizlik"i (on milyon kere milyar) "üçüncü sınıf birim", "sekizlik kere sekizlik kere sekizlik"! "dördüncü sınıf birim" v.b. olarak adlandırıyor.
Büyük sayıların yazılması, birkaç kitap sayfasının bu işe ayırılması gibi önemsiz bir olay olarak görünürse de Arşimet zamanında büyük bir sayıyı yazma yöntemini bulmak gerçekten büyük bir buluş ve matematikte ileriye atılmış önemli bir adımdı.
Bütün evreni dolduracak kum tanelerinin sayısını bulabilmek için, Arşimet'in evrenin büyüklüğünü bilmesi gerekliydi. O'nun zamanında, evrenin, üzerine sabit yıldızlar asılmış kristal bir küreyle örtülü olduğuna inanılırdı ve ünlü çağdaşı gökbilimci Sisam'lı Aristarkhos da bu gök kubbenin yüzeyine kadar olan uzaklığı, 10,000,000,000 "Stadia" (4) ya da yaklaşık 1,000,000,000 mil tahmin ediyordu. Bu kürenin büyüklüğünü bir kum tanesiyle karşılaştıran Arşimet, bir orta okul öğrencisine karabasanlar gördürecek birtakım hesaplar yaparak şu sonuca vardı: "Aristarchus'un tahmin ettiği büyüklükteki göksel bir küreyi dolduracak kum tanelerinin sayısı, bin myriad kere sekizinci sınıf biriminden daha büyük değildir." (5) Ne var ki burada, Arşimet'in tahmininde kullandığı evren yarıçapının modern bilginlerin tahminlerinden oldukça az olduğuna dikkat edilmelidir. Bir milyar millik uzaklık ancak, güneş sistemimizin bir gezegeni Satürn'ün biraz ötesine ulaşabilir. Daha sonra göreceğimiz gibi, bugün teleskoplarla görülebilen evren uzaklığı 5,000,000,000,000,000,000,000 mil kadar olup bu büyüklükteki evren küresini doldurabilecek kum tanelerinin sayısı, şundan büyük olurdu:
10100 (yani birin sağında yüz sıfır)
Bu sayı, gerçekten, bu bölümün başında evrende bulunan atomların sayısı olarak bildirilen 3.1074 sayısından çok büyüktür. Ancak, şunu unutmamamız gerekir: Evren atom tanecikleriyle sıkıştırılmış değildir ve aslında uzayın her metre küpüne ortalama olarak yalnızca bir atom düşer.
Ne var ki, oldukça büyük sayılar elde etmek için bütün evreni kum tanecikleriyle doldurmaya hiç gerek yoktur. Kimi kez ilk bakışta çok yalıngibi görünen ve sonucunda birkaç binden çok olmayan bir sayıya erişeceğimizi sandığımız bir problemde, bu büyük sayılar sık sık görülür.



Usta matematikçi, Sadrazam Sissa Ben Dahir Hint Mihracesi Shirham'dan ödülünü istiyor.

Bu şaşırtıcı sayıların bir kurbanı da, eski bir öyküye göre, satranç oyununu bulan sadrazamı Sissa Ben Dahir'i ödüllendirmek isteyen Hint mihracesi Shirham'dır. Akıllı sadrazamın isteği çok alçak gönüllü gözükmektedir. Mihracenin önünde diz çökerek "Majesteleri, bu satranç tahtasının ilk karesine l, ikincisine 2, üçüncüsüne 4, dördüncüsüne 8 tane buğday koysalar ve her bir kareye bir öncekinin iki katı buğday koyarak 64 kareyi dbldursalar yeter" der.
Bir yandan için için, mucize denebilecek türden bir oyunu ilk bulan kişiye yaptığı eli açık bağışın hazinesine pek pahalıya gelmeyeceğini düşünerek sevinen mihrace, sadrazamına, "isteğin şüphesiz yerine getirilecek. Ancak çok küçük bir istekte bulunuyorsun sadık vezirim," der. Ve huzura bir çuval buğday getirilmesini buyurur.
Birinci kareye 1, ikinciye 2, üçüncüye 4, dördüncüye 8 buğday tanesi koyarak sayma işi başladığında daha yirminci kareye gelmeden bir çuval bitiverir.
Sayım işi ilerledikçe mihracenin huzuruna daha çok sayıda çuvallar gelmeye başlar, ama her an sırada bulunan kareye konulması gereken buğday tanesi sayısı bir öncekine göre öyle artar ki, sonunda mihrace Hindistan'ın bütün buğdayının Sissa Ben Dahir'e söz verdiği kadarına yetmeyeceğini anlar. Sözünü yerine getirmek için 18,446,744,073,709,551,615 (6) tane buğday gerekmektedir.
Bu, evrendeki atomların sayısı kadar olmasa da, herhalde yine de oldukça büyük bir sayıdır. Bir kile buğdayda 5,000,000 tane olduğu varsayılsa Sissa Ben Dahir'in istediği buğday miktarı yaklaşık 4000 milyar kileyi bulmaktadır. Ortalama buğday ürünü bütün dünyada yılda 2,000,000,000 kile olduğuna göre sadrazamın isteği dünyanın yaklaşık iki bin yıllık buğday ürünüdür. Bu nedenle Mihrace Shirham ya vezirinin bu ardı arkası gelmeyen isteğiyle sürekli karşı karşıya kalmayı ya da onun başını uçurmayı yeğleyecektir. Korkarız ki o, bu iki seçenekten ikincisini seçer.
"Dünyanın Sonu" sorununa ilişkin bir Hint öyküsünde de yine büyük bir sayı önemli rol oynar. Matematik tarihçisi W.W.R. Ball (7) öyküyü aşağıdaki gibi anlatıyor:
Benares'teki büyük tapınakta dünyanın ortasını belirten kubbenin altında, üzerinde her biri bir kübit (bir kübit,yaklaşık 50 santimetre) yükseklikte ve kalınlığı bir arı gövdesi kadar olan üç elmas çubuğu taşıyan pirinç bir levha vardır. Bu çubuklardan birine dünyanın yaradılışı sırasında Tanrı, aşağıdan yukarıya doğru küçülen, en büyüğü en altta, en küçüğü en üstte bulunan som altından 64 disk koymuştur. Bu Brahma kulesidir. Gece gündüz bir nöbetçi rahip, durup dinlenmeden, Brahma tarafından konulan bir yasaya göre, her defasında yalnız bir diski hareket ettirerek ve hiçbir zaman küçük bir disk büyük bir diskin altına gelmeyecek biçimde, diskleri çubuktan çubuğa geçirmektedir, böyle sürdürerek 64 diskin tamamı Tanrının yaradılış günü koyduğu çubuktan başka bir çubuğa geçirilince, kule, toprak ve Brahmanlar toza dönüşecek ve bir gök gürültüsüyle dünya yok olacaktır.
Alttaki resim, disk eksiğiyle, öyküde anlatılan düzeni gösteriyor. Bu bilmeceli oyunu Hint masalındaki altın diskler yerine mukavvadan kesilmiş diskler ve elmas çubuklar yerine çiviler kullanarak siz de yapabilirsiniz. Disklerin hangi kurala göre hareket ettirileceğini bulmak zor değildir. Bunu bulursanız göreceksiniz ki her bir diskin yerinden alınması için bir öncekinin gerektirdiği hareket sayısının iki katı kadar hareket yapmak gerekir. İlk diskin yerinden alınması için sadece bir hareket gerekirse de bundan sonrakiler geometrik olarak artmaktadır. Böylece 64 diskin yerinden oynatılması için Sissa Ben Dahir'in istediği buğday sayısı kadar hareket yapmak gerekir.(8)



Dev bir Brahma yontusu önünde "Dünyanın Sonu" problemi üzerinde çalışan bir papaz. 64 disk çizmek çok güç olduğu için şekildeki altın diskler daha azdır.
Bu Brahma kulesinin 64 diskinin hepsini bir çubuktan ötekine geçirmek ne kadar sürer? Papazın bayram, tatil demeden gece gündüz çalıştığını ve saniyede bir hareket yaptığını varsayalım. Bir yılda yuvarlak hesap 31,558,000 saniye olduğuna göre, bu işin bitirilmesi en azından elli sekiz bin milyar yıl sürecektir.
Modern bilimin, evrenin ömrüne ilişkin tahmini ile bu bütünüyle olağanüstü önbilinin (kehanet) karşılaştırılması çok ilgi çekicidir. Evrenin gelişimi hakkındaki modern kuramlara göre, yıldızlar, güneş ve dünyamız da içinde olmak üzere gezegenler bundan yaklaşık 3,000,000,000 yıl önce şekilsiz bir kütleden oluşmuştur. Yıldızlara ve özellikle güneşe enerjilerini veren "Atomik yakıt'ın 10,000,000,000 ya da 15,000,000,000 yıl daha sürebileceğini biliyoruz. (Yaradılış Günleri bölümüne bakın.) Öyleyse evrenin toplu yaşam süresi 20,000,000,000 yıl olabilir, bu, Hint söylencesindeki 58,000 milyar yıla göre çok kısadır! Ama, ne de olsa o sadece bir söylencedir!
Şimdiye kadar literatüre geçmiş en büyük sayı, büyük bir olasılıkla "Basılı Satır Problemi"ndedir. Sürekli olarak ardı ardına bir tek satır basan ve otomatik olarak her defasında abecenin harfleriyle öteki yazım imlerini çeşitli biçimlerde dizebilen bir baskı makinesi yaptığımızı varsayalım. Bu makine, dış çevresi üzerinde abece harfleriyle yazım imlerinin bulunduğu çeşitli disklerden oluşma bir silindir olacaktır. Bu diskler birbirlerine, arabanızın kilometre göstergesinde olduğu gibi, biri tam bir devir yaptığı anda ötekinin bir basamak ilerleyeceği bir dişli düzeneği ile bağlanmış olsun. Kâğıt bobininden gelen kâğıt da her bir harekette bu silindir üzerine bastırılsın. Yapımı pek de zor olmayan böyle otomatik bir baskı makinesi aşağıdaki şekilde çizimsel olarak gösterilmiştir.



Shakespeare'in bir dizesini tam doğru olarak basan otomatik bir baskı makinesi.

Makineyi harekete geçirip baskıdan gelen farklı basılı satırlar sonsuz dizisini inceleyelim. Bunların çoğu hiçbir anlama gelmeyen
"aaaaaaaaaaa..." yada
"boobooboobooboo..." yada
"zawkporpkosscilm.."
biçimlerinde olacaktır.

tekrar olmaz

Ama makine, harfler ve yazım imleriyle olası her bir dizi şeklini yapabileceğinden bu anlamsız cümleler arasında anlamları olan ama kullanılmayan
"Atın altı ayağı vardır ve..."
yada
"Neft yağında kızartılmış elmayı severim."
gibi yararsız cümleler olacaktır. Bu cümleler arasında yapılacak sıkı bir araştırma, Shakespeare tarafından yazılıp da kâğıt sepetine atılmış cümleleri de ortaya çıkaracaktır.
Gerçekte böyle bir otomatik baskı makinesi, insanlar yazmayı öğrendiğinden beri yazılan her şeyi, bu güne kadar yazılmış uyaklı ya da düzyazı her satırı, gazetelerdeki her makale ya da ilanı, en ağır bilimsel kitapçığı, her aşk mektubunu ya da sütçüye yazılmış herhangi bir notu yazmış olabilecektir.
Bundan başka bu makine gelecek yüzyıllarda yazılabilecek her şeyi de yazmış olacaktır. Bu makinenin dönen silindirlerinden çıkan kâğıtta otuzuncu yüzyılın şiirlerini, geleceğin bilimsel buluşlarını, Amerika Birleşik Devletleri'nin 500. kongresinde verilecek söylevi ve 2344 yılında gezegenler arası yolculuklardaki trafik kazaları sayılarını bulabileceğiz
Bunlar arasında şimdiye kadar insan eliyle yazılmış sayfa sayfa kısa
öyküler, uzun romanlar bulunabilecek ve basımevlerinde böyle bir
makinesi bulunan yayımcılar, simdi de yaptıkları gibi, bir yığın süprüntü
içinden bir araştırma yaparak iyilerini seçeceklerdir.
İngiliz abecesinde yirmi altısı harf, onu rakam (0,1,2,...,9) ve on dördü yazım imlerinden (noktalı çizgi, nokta, virgül, iki nokta, noktalı virgül, soru imi, ünlem, tire, birleştirme çizgisi, tırnak imi, kesme imi, ayraç, köşeli ayraç, büyük ayraç) oluşan toplam 50 im vardır. Ortalama bir baskı satırında 65 harf bulunabileceğine göre bu makinede 65 disk olduğunu kabul edelim. Makinede basılan bir satır yazı, bu 50 imden herhangi biri ile başlayabileceğine göre 50 çeşit olanak vardır. Bu 50 olanağa karşılık, ikinci sırada da 50 farklı olanak bulunduğu için toplu olarak 50 X 50 = 2500 çeşit olasılık ortaya çıkar. Şimdi bu ikili diziye karşılık, üçüncü sırada da 50 çeşit olanak bulunur ve böylece sürer gider. Bu yolla hesaplanarak bir satırın gerçekleşebilecek çeşitli biçimleri şöyle anlatılabilir:

65 tane
50x50x50x50.... x 50

Yada 5065 olup bu da 10110'a eşittir.
Bu sayının büyüklüğünü duyumsayabilmek için evrendeki bütün atomların herbirinin bir baskı makinesi olduğunu böylece aynı anda 3.1074 baskı makinemizin çalıştığını varsayalım. Dahası bu makinelerin, evrenin yaradılışından beri, yani 3 milyar yıl ya da 1017saniyedir, sürekli olarak çalıştığını ve saniyede atom titreşimleri sayısı olan 1015 satırı basabildiğini düşünelim. Böylece bu makineler şimdiye kadar
3.1074x1017x1015 = 3.10106
satır basmış olurlardı ki bu, aranan sayının yüzde birinin otuzda biri kadardır.
Ama böyle otomatik olarak basılmış gereçten herhangi bir seçme yapmak çok, olağanüstü çok zaman isteyecektir.

2.SONSUZLAR NASIL HESAPLANIR
Bundan önceki kısımda incelediğimiz sayıların birçoğu oldukça büyük sayılardı. Sissa Ben'in istediği buğday taneleri sayısı da inanılamayacak kadar büyüktüyse de bu belirli (sonlu) olup, yeterli zaman verilirse son ondalığına kadar yazılabilir.
Ama kimi sayılar, ne denli çalışırsak çalışalım, yazabileceğimiz sayıdan daha büyük olup gerçekten sonsuzdurlar. "Bütün sayıları içine alan sayı" açıktan açığa sonsuzdur ve "bir doğru üzerinde bulunan geometrik noktalar" öyledir. Bunlar için sonsuz demekten başka söylenecek bir şey var mıdır? Ya da böyle iki ayrı sonsuzun hangisi "daha büyük" diye kıyaslama yapılabilir mi?
"Bütün sayıları içine alan sayı bir doğru üzerindeki noktaların sayısından daha mı büyük daha mı küçük?" diye sormanın bir anlamı var mı? îlk bakışta olağanüstü gibi görünen bunun gibi sorular ilk olarak "sonsuzluk aritmetiği"'nin kurucusu diye adlandırılabilecek ünlü matematikçi Georg Cantor tarafından ele alınmıştır. Daha büyük ve daha küçük sonsuzlardan söz etmek istersek, adlandıramadığımız ya da yazamadığımız sayıları birbiriyle karşılaştırma sorunuyla karşılaşır ya da hazinesinde bakır paralarının mı yoksa boncuklarının mı daha çok olduğunu araştıran Hotantoluya benzer duruma düşeriz.
Anımsayacağınız gibi, Hotantolu üçten çok sayı sayamamaktadır. Bu Hotantolu sayı sayamadığı için hazinesindeki boncuklarla bakır paralardan hangisinin çok olduğunu öğrenmekten vaz mı geçsin? Hiç de değil. Eğer yeterince akıllıysa, bakır paralarla boncukları birer birer karşılaştırmakla yanıtı bulacaktır. Bir boncuğun yanına bir bakır para, ötekinin yanına yine bir tane ve böyle sürdürerek, elinde bakır paralar kalıp ta boncuklar biterse bakırların çok olduğunu, bakır paralar bitip de elinde boncuklar kalırsa boncukların çok olduğunu, ikisi de aynı zamanda biterse bakırlarla boncukların aynı sayıda olduklarını bilecektir.
Aynı yöntem, Cantor tarafından iki sonsuzu karşılaştırmak için ileri sürülmüştür. İki sonsuz grubun nesneleri arasında, bir sonsuz grubun her nesnesi öteki sonsuz grubun her nesnesiyle karşı karşıya gelmek üzere çiftler yapılır da her iki grupta açıkta kalmış nesne kalmazsa bu iki sonsuz eşittir. Böyle bir düzenleme olanaksızsa ve gruplardan birinde açıkta kalmış nesneler kalıyorsa o zaman bu gruptaki nesnelerin sonsuzu öteki gruptaki nesnelerin sonsuzundan daha büyük ya da daha güçlüdür deriz.
Bu örnek, sonsuz iki miktarı karşılaştırabilmek için, açık olarak en akla yakın ve gerçekten ancak olanaklı yöntemdir. Ama bunu uygulamaya başladığımız anda önümüze çıkacak kimi şaşırtıcı şeylere de hazırlıklı olmalıyız. Örnek olarak, tek sayılarla çift sayıların sonsuzlarını ele alalım. Olağan durumda sezginizle hemen çift sayıların sayısı kadar tek sayı olduğunu ve bunların yukarıdaki kurala göre şöyle dizilebileceğini sezersiniz:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 v.b.
| | | | | | | | | | |
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 v.b.

Bu tabloda her tek sayıya karşı bir çift sayı ve tersi vardır: bu nedenle tek sayılar sonsuzu çift sayılar sonsuzuna eşittir. Kolay ve doğal gözüküyor gerçekten! Ama bir dakika. Hangisinin daha büyük olduğunu düşünüyorsunuz: hem çift hem de tek bütün sayıları içine alan sonsuzun mu yoksa yalnız çift sayıları içine alan sonsuzun mu? Kuşkusuz tek ve çift bütün sayıları içine alan sayı ötekinden daha büyüktür diyeceksiniz. Ne var ki bu yalnızca bir izlenimdir ve doğru yanıtı elde edebilmek için, yukarıdaki kuralı uyguladığınızda izleniminizin yanlış olduğunu şaşırarak göreceksiniz. İşte, aşağıdaki tabloda bütün sayılar bir yanda onlara karşı gelen çift sayılar da karşılarında dizilmiştir:

1 2 3 4 5 6 7 8
| | | | | | | |
2 4 6 8 10 12 14 16


Sonsuzların karşılaştırılması kuralına göre, çift sayılar sonsuzu, bütün sayılar sonsuzu kadardır dememiz gerekir. Çift sayılar, bütün sayıların yalnız bir bölümünü gösterdiğine göre, doğal olarak mantığa biraz aykırı gelmektedir. Ama burada sonsuz sayılarla işlem yaptığımızı anımsayıp, onların farklı özelliklerini dikkate almalıyız.
Aslında, sonsuzluk dünyasında bir parça, bir bütüne eşit olabilir! Ünlü Alman matematikçi David Hilbert hakkındaki yazılardan alınmış bir örnek belki de bunu en iyi biçimde gösterebilir. Sonsuz sayılar üzerine verdiği konferanslarında, sonsuz sayıların mantığa aykırı olan bu özelliklerini şu cümlelerle açıkladığı söylenmektedir9)
"Belirli sayıdaki odalarının hepsi tutulmuş bir otel düşünelim. Yeni bir müşteri gelip bir oda istesin. Otel sahibi, 'Yazık ki bütün odalarımız tutuldu' diyecektir. Şimdi de sonsuz sayıda odaları olan bir otel düşünelim. Bunun da odalarının hepsi tutulmuş olsun. Bu otele de bir müşteri gelip bir oda istesin."

111111

"Otel sahibi,'Hay hay' diyerek önce Nl'deki müşteriyi N2'ye, N2'yi N3'e, N3'ü N4'e... geçirir. Ve bu aktarmalar sonucu boşalan bir numaralı odayı yeni müşteriye verebilir."
"Şimdi de sonsuz sayıda odalarının hepsi dolu otele sonsuz sayıda müşterinin gelip birer oda istediğini düşünelim."
"Otel sahibi, 'Hay hay beyler, bir dakika lütfen' der."
"N1'deki müşteriyi N2'ye, N2'dekini N4'e, N3'teki müşteriyi N6'ya aktarır."
"Böylece tek numaralı bütün odaları boşaltıp yeni gelen müşterileri kolayca buralara yerleştirebilir."
Evet, Hilbert'in tanımladığı koşullan savaş sırasındaki Washington için bile tasarlamak pek kolay değil ama, bu örnekle, hiç değilse, sonsuz sayılarla yapılan işlemlerde, olağan aritmetikte alışık olduklarımızdan oldukça farklı özellikte sayılarla karşı karşıya olduğumuzu kesinlikle anlıyoruz.
Cantor'un iki sonsuzun karşılaştırılması hakkındaki bu kuralını izleyerek, 3/7 ya da 735/8 gibi sıradan kesirlerin de tıpkı tamsayılar gibi olduklarını gösterebiliriz. Gerçekten, aşağıdaki kurala göre sıradan kesirleri şöyle bir sıraya dizebiliriz: Önce pay ve paydasının toplamı 2 olan kesirleri yazalım; böyle bir kesir vardır: 1/1. Sonra pay ve paydasının toplamı 3 eden kesirleri yazalım: 2/1 ve 1/2. Sonra aynı tür toplamları 4'e eşit olanları yazalım: 3/1, 2/2, 1/3. Bu yöntemi izleyerek, düşünülebilen (Şekil 5) her basit kesri içine alan bir sonsuz kesirler dizisi elde ederiz. Şimdi bu kesirler dizisi üzerine tam sayıları yazarsanız, teker teker kesirlerle tamsayıların sonsuzlarını elde etmiş olacaksınız. Bunların sayıları birbirinin aynıdır!
"İyi, her şey güzel, ama bu, bütün sonsuzlar birbirine eşit demek olmaz mı? Ve durum böyle olunca onları karşılaştırmanın ne gereği var?" diyebilirsiniz.
Hayır, durum hiç te böyle değildir ve bütün tamsayılar ya da bütün kesirler sonsuzundan daha büyük sonsuz kolayca bulunabilir.
Gerçekten de, bu kısmın başında sorulan, bir doğru üzerindeki noktaların sayısı ile bütün tamsayıların sayısı karşılaştırmasını inceleyecek olursak, aslında bu iki sonsuzun birbirlerinden farklı olduklarını görürüz; bir doğru üzerinde, tam ya da kesirli sayıların sayısından daha çok nokta vardır. Bu dediğimizi kanıtlamak için, bir doğru üzerinde, diyelim ki 2 cm., noktalarla tamsayılar dizisinin üyelerini tek tek karşılaştıralım.
Doğru üzerindeki her bir nokta, doğrunun bir ucuna olan uzaklığı ile belirlidir ve uzaklık sonsuz bir ondalık kesir 0.7350624780056... ya da 0.38250375632... olarak (10) gösterilebilir. Öyleyse bütün tamsayıların sayısını olabilecek sonsuz ondalık kesir sayısı ile karşılaştırmamız gerekir. Şimdi, yukarıda verilen sonsuz ondalık bir kesir ile 3/7 ya da 8/277 gibi sıradan kesir arasındaki fark nedir?
Her sıradan kesrin, sonsuz bir dönemsel (periyodik) ondalık kesre dönüştürülebileceğini aritmetik bilginizden anımsarsınız. Örneğin: 2/3 = 0.66666... = 0. (6) ve 3/7 = 0.428571 : 428571 : 428571 :4... = 0 (428571). Yukarıda sıradan kesirlerin sayısıyla tamsayıların sayısının aynı olduklarını kanıtladık, öyleyse ondalık kesirlerin sayısı da tamsayıların sayısı kadardır. Ama, bir doğru üzerindeki noktaların her zaman ondalık bir kesirle gösterilmesine gerek yoktur, birçok durumda ondalık kesri dönemsel yineleme göstermeyen (sonlu) bir kesir olarak elde ederiz. Ve böyle bir durumda doğrusal olmayan düzenlemenin olanaklı olduğunu göstermek kolaydır.
Herhangi bir kimse böyle bir dizi yaptığını savunsun ve diyelim ki bu düzen şöyle olsun:
N
1 0.38602563078...
2 0.57350762050...
3 0.99356753207...
4 0.25763200456...
5 0.00005320562...
6 0.99035638567...
7 0.55522730567...
8 0.05277365642...

Sonsuz sayıların, her defasında gerçekten sonsuz ondalık sayılarla yazılması, hiç kuşkusuz, olanaksız olduğu için yukarıdaki sav, tabloyu yapanın genel bir kurala (bizim sıradan kesirlerde kullandığımıza benzeyen) sahip olduğu, tablonun bu kurala göre yapıldığı ve bu kuralın düşünülebilen her ondalık kesrin önünde sonunda bu tabloda ortaya çıkmasını sağlama aldığı anlamına gelir.
Pekâlâ, bu türden bir savı çürütmek, bu sonsuz tabloda bulunmayan bir ondalık kesri her zaman yazabileceğimiz için, hiç de zor değildir. Nasıl mı yapabiliriz? Oo! Çok kolay! Tabloda N.1 sırasındaki kesrin birinci ondalığına (onlar basamağı), N.2'deki kesrin ikinci ondalığına (yüzler basamağı), N.3'deki kesrin üçüncü ondalığına (binler basamağı) v.b. basamaklarda bulunan rakamlardan farklı rakamlar yazın. Elde edeceğiniz sayı belki yukarıdaki sayıya benzer bir şey olacak ve aradığınız bu sayı, tabloda ne denli ilerlerseniz ilerleyin bulunamayacaktır. Tablo sahibi bu yazdığınız kesrin, tablosunda No, 137 de (ya da başka bir numarada) ortaya çıkacağım söylerse hemen şu karşılığı verebilirsiniz: "Hayır! Aynı kesir değil o. Çünkü sizin tablonuzdaki kesrin 137. basamağıyla benim düşündüğüm kesrin 137. basamağı aynı değil." Böylece görülür ki, bir doğru üzerindeki noktalarla tamsayıları bire bir karşılaştırmak olanaksızdır ve doğru üzerinde bulunan noktaların sonsuzluğu tam ya da kesirli bütün sayıların sonsuzluğundan daha büyük ya da daha güçlüdür.
Buraya kadar bir santimetre uzunluğunda bir doğru parçasının üzerindeki noktalardan söz ettik. Ama şimdi "Sonsuzlar Aritmetiği" kurallarımıza göre, aynı şeyin, herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçası için de doğru olduğunu kolayca gösterebiliriz. Aslında, bir santimetre, bir metre ya da bir kilometrelik doğru parçalarındaki noktaların sayılan hep aynıdır. Bunu kanıtlamak için, farklı uzunluktaki AB ve AC doğruları üzerindeki noktaların sayılarını karşılaştıran aşağıdaki şekil'e bakın. İki doğrunun noktaları arasında bire bir uygunluk kurmak için, AB üzerindeki her noktadan BC'ye paraleller çizelim ve bunların doğruları kestiği noktalan D,D'; E,E'; ve F,F' v.b. olarak birleştirelim. AB üzerindeki her noktanın AC üzerinde bir karşılığı vardır ve tersi. Öyleyse, kuralımıza göre noktalara ilişkin her iki sonsuz birbirine eşittir.

Sonsuz çözümlemelerinde dikkat çekici bir sonuç da şudur: Bir düzlem üzerindeki bütün noktaların sayısı bir doğru üzerindeki bütün noktaların sayısına eşittir. Bunu kanıtlamak için bir birim uzunluğundaki AB doğrusuyla CDEF karesi içindeki noktaları düşünelim (Alttaki Şekil). Doğru üzerindeki belli bir noktanın 0.71520386... gibi bir sayıyla verildiğini kabul edelim. Bu sayıdan, tek ve çift ondalık basamaklarmdaki rakamları ayırıp ayrı ayrı bir araya getirerek iki sayı yapabiliriz.
Böylece 0.7108... ve 0.5236... sayılarını elde ederiz.
Bu sayılarla verilen uzunlukları karemizin yatay ve düşey doğrultularına taşıyalım. Bu yöntemle elde ettiğimiz ve doğru üzerinde verilen noktamızı karşılayan bu yeni noktaya "nokta çifti" diyelim. Şimdi tersine, kare içinde yeri, örneğin
0.4835... ve 0.9907... sayılarıyla belirli bir noktamız varsa bu sayıları birbiri içine sokarak doğru üzerinde "nokta çifti"ni karşılayan konumu elde edebiliriz
0.49893057...
Bu yöntemin iki noktalar takımı arasında bire bir ilişkiyi sağladığı açıkça görülüyor. Doğru üzerindeki her bir noktanın kare içinde bir çifti ve kare içindeki her bir noktanın da doğru üzerinde bir çifti olacak ve geride açıkta kalmış hiçbir nokta olmayacaktır. Böylece, Cantor ilkesine göre, bir kare içindeki noktaların sonsuzluğu, bir doğru üzerinde bulunan noktaların sonsuzluğuna eşittir. Aynı şekilde, bir küpün içindeki noktaların sonsuzluğunun da bir kare içindeki noktaların sonsuzluğuna eşit olduğunu kanıtlayabiliriz. Bunu yapabilmek için verilen asıl kesri, üç parçaya ayırmamız gerekir (11) ve bu yöntemle elde edilen üç kesri, küpün içinde bulunan "nokta çifti"nin yerini belirlemekte kullanırız. Tıpkı uzunlukları farklı olan iki doğru durumunda olduğu gibi, büyüklükleri ne olursa olsun, bir kare ya da küp içindeki noktaların sayısı hep birbirinin aynıdır.Bütün geometrik noktaların sayısı bütün tam ve kesirli sayılarınsayısından büyükse de bu, matematikçilerce bilinen en büyük sayı değildir. Aslında en alışılmadık biçimler de içinde olmak üzere, olabilecek bütün eğri türleri, geometrik noktalar topluluğundan daha çok üyesi olan bir topluluk oluşturur ve böylece sonsuz dizisinin üçüncü sayısını belirlerler.

"Otel sahibi,'Hay hay' diyerek önce Nl'deki müşteriyi N2'ye, N2'yi N3'e, N3'ü N4'e... geçirir. Ve bu aktarmalar sonucu boşalan bir numaralı odayı yeni müşteriye verebilir."
"Şimdi de sonsuz sayıda odalarının hepsi dolu otele sonsuz sayıda müşterinin gelip birer oda istediğini düşünelim."
"Otel sahibi, 'Hay hay beyler, bir dakika lütfen' der."
"N1'deki müşteriyi N2'ye, N2'dekini N4'e, N3'teki müşteriyi N6'ya aktarır."
"Böylece tek numaralı bütün odaları boşaltıp yeni gelen müşterileri kolayca buralara yerleştirebilir."
Evet, Hilbert'in tanımladığı koşullan savaş sırasındaki Washington için bile tasarlamak pek kolay değil ama, bu örnekle, hiç değilse, sonsuz sayılarla yapılan işlemlerde, olağan aritmetikte alışık olduklarımızdan oldukça farklı özellikte sayılarla karşı karşıya olduğumuzu kesinlikle anlıyoruz.
Cantor'un iki sonsuzun karşılaştırılması hakkındaki bu kuralını izleyerek, 3/7 ya da 735/8 gibi sıradan kesirlerin de tıpkı tamsayılar gibi olduklarını gösterebiliriz. Gerçekten, aşağıdaki kurala göre sıradan kesirleri şöyle bir sıraya dizebiliriz: Önce pay ve paydasının toplamı 2 olan kesirleri yazalım; böyle bir kesir vardır: 1/1. Sonra pay ve paydasının toplamı 3 eden kesirleri yazalım: 2/1 ve 1/2. Sonra aynı tür toplamları 4'e eşit olanları yazalım: 3/1, 2/2, 1/3. Bu yöntemi izleyerek, düşünülebilen (Şekil 5) her basit kesri içine alan bir sonsuz kesirler dizisi elde ederiz. Şimdi bu kesirler dizisi üzerine tam sayıları yazarsanız, teker teker kesirlerle tamsayıların sonsuzlarını elde etmiş olacaksınız. Bunların sayıları birbirinin aynıdır!
"İyi, her şey güzel, ama bu, bütün sonsuzlar birbirine eşit demek olmaz mı? Ve durum böyle olunca onları karşılaştırmanın ne gereği var?" diyebilirsiniz.
Hayır, durum hiç te böyle değildir ve bütün tamsayılar ya da bütün kesirler sonsuzundan daha büyük sonsuz kolayca bulunabilir.
Gerçekten de, bu kısmın başında sorulan, bir doğru üzerindeki noktaların sayısı ile bütün tamsayıların sayısı karşılaştırmasını inceleyecek olursak, aslında bu iki sonsuzun birbirlerinden farklı olduklarını görürüz; bir doğru üzerinde, tam ya da kesirli sayıların sayısından daha çok nokta vardır. Bu dediğimizi kanıtlamak için, bir doğru üzerinde, diyelim ki 2 cm., noktalarla tamsayılar dizisinin üyelerini tek tek karşılaştıralım.
Doğru üzerindeki her bir nokta, doğrunun bir ucuna olan uzaklığı ile belirlidir ve uzaklık sonsuz bir ondalık kesir 0.7350624780056... ya da 0.38250375632... olarak (10) gösterilebilir. Öyleyse bütün tamsayıların sayısını olabilecek sonsuz ondalık kesir sayısı ile karşılaştırmamız gerekir. Şimdi, yukarıda verilen sonsuz ondalık bir kesir ile 3/7 ya da 8/277 gibi sıradan kesir arasındaki fark nedir?
Her sıradan kesrin, sonsuz bir dönemsel (periyodik) ondalık kesre dönüştürülebileceğini aritmetik bilginizden anımsarsınız. Örneğin: 2/3 = 0.66666... = 0. (6) ve 3/7 = 0.428571 : 428571 : 428571 :4... = 0 (428571). Yukarıda sıradan kesirlerin sayısıyla tamsayıların sayısının aynı olduklarını kanıtladık, öyleyse ondalık kesirlerin sayısı da tamsayıların sayısı kadardır. Ama, bir doğru üzerindeki noktaların her zaman ondalık bir kesirle gösterilmesine gerek yoktur, birçok durumda ondalık kesri dönemsel yineleme göstermeyen (sonlu) bir kesir olarak elde ederiz. Ve böyle bir durumda doğrusal olmayan düzenlemenin olanaklı olduğunu göstermek kolaydır.
Herhangi bir kimse böyle bir dizi yaptığını savunsun ve diyelim ki bu düzen şöyle olsun:
N
1 0.38602563078...
2 0.57350762050...
3 0.99356753207...
4 0.25763200456...
5 0.00005320562...
6 0.99035638567...
7 0.55522730567...
8 0.05277365642...

Sonsuz sayıların, her defasında gerçekten sonsuz ondalık sayılarla yazılması, hiç kuşkusuz, olanaksız olduğu için yukarıdaki sav, tabloyu yapanın genel bir kurala (bizim sıradan kesirlerde kullandığımıza benzeyen) sahip olduğu, tablonun bu kurala göre yapıldığı ve bu kuralın düşünülebilen her ondalık kesrin önünde sonunda bu tabloda ortaya çıkmasını sağlama aldığı anlamına gelir.
Pekâlâ, bu türden bir savı çürütmek, bu sonsuz tabloda bulunmayan bir ondalık kesri her zaman yazabileceğimiz için, hiç de zor değildir. Nasıl mı yapabiliriz? Oo! Çok kolay! Tabloda N.1 sırasındaki kesrin birinci ondalığına (onlar basamağı), N.2'deki kesrin ikinci ondalığına (yüzler basamağı), N.3'deki kesrin üçüncü ondalığına (binler basamağı) v.b. basamaklarda bulunan rakamlardan farklı rakamlar yazın. Elde edeceğiniz sayı belki yukarıdaki sayıya benzer bir şey olacak ve aradığınız bu sayı, tabloda ne denli ilerlerseniz ilerleyin bulunamayacaktır. Tablo sahibi bu yazdığınız kesrin, tablosunda No, 137 de (ya da başka bir numarada) ortaya çıkacağım söylerse hemen şu karşılığı verebilirsiniz: "Hayır! Aynı kesir değil o. Çünkü sizin tablonuzdaki kesrin 137. basamağıyla benim düşündüğüm kesrin 137. basamağı aynı değil." Böylece görülür ki, bir doğru üzerindeki noktalarla tamsayıları bire bir karşılaştırmak olanaksızdır ve doğru üzerinde bulunan noktaların sonsuzluğu tam ya da kesirli bütün sayıların sonsuzluğundan daha büyük ya da daha güçlüdür.
Buraya kadar bir santimetre uzunluğunda bir doğru parçasının üzerindeki noktalardan söz ettik. Ama şimdi "Sonsuzlar Aritmetiği" kurallarımıza göre, aynı şeyin, herhangi bir uzunluktaki bir doğru parçası için de doğru olduğunu kolayca gösterebiliriz. Aslında, bir santimetre, bir metre ya da bir kilometrelik doğru parçalarındaki noktaların sayılan hep aynıdır. Bunu kanıtlamak için, farklı uzunluktaki AB ve AC doğruları üzerindeki noktaların sayılarını karşılaştıran aşağıdaki şekil'e bakın. İki doğrunun noktaları arasında bire bir uygunluk kurmak için, AB üzerindeki her noktadan BC'ye paraleller çizelim ve bunların doğruları kestiği noktalan D,D'; E,E'; ve F,F' v.b. olarak birleştirelim. AB üzerindeki her noktanın AC üzerinde bir karşılığı vardır ve tersi. Öyleyse, kuralımıza göre noktalara ilişkin her iki sonsuz birbirine eşittir.

Sonsuz çözümlemelerinde dikkat çekici bir sonuç da şudur: Bir düzlem üzerindeki bütün noktaların sayısı bir doğru üzerindeki bütün noktaların sayısına eşittir. Bunu kanıtlamak için bir birim uzunluğundaki AB doğrusuyla CDEF karesi içindeki noktaları düşünelim (Alttaki Şekil). Doğru üzerindeki belli bir noktanın 0.71520386... gibi bir sayıyla verildiğini kabul edelim. Bu sayıdan, tek ve çift ondalık basamaklarmdaki rakamları ayırıp ayrı ayrı bir araya getirerek iki sayı yapabiliriz.
Böylece 0.7108... ve 0.5236... sayılarını elde ederiz.
Bu sayılarla verilen uzunlukları karemizin yatay ve düşey doğrultularına taşıyalım. Bu yöntemle elde ettiğimiz ve doğru üzerinde verilen noktamızı karşılayan bu yeni noktaya "nokta çifti" diyelim. Şimdi tersine, kare içinde yeri, örneğin
0.4835... ve 0.9907... sayılarıyla belirli bir noktamız varsa bu sayıları birbiri içine sokarak doğru üzerinde "nokta çifti"ni karşılayan konumu elde edebiliriz
0.49893057...
Bu yöntemin iki noktalar takımı arasında bire bir ilişkiyi sağladığı açıkça görülüyor. Doğru üzerindeki her bir noktanın kare içinde bir çifti ve kare içindeki her bir noktanın da doğru üzerinde bir çifti olacak ve geride açıkta kalmış hiçbir nokta olmayacaktır. Böylece, Cantor ilkesine göre, bir kare içindeki noktaların sonsuzluğu, bir doğru üzerinde bulunan noktaların sonsuzluğuna eşittir. Aynı şekilde, bir küpün içindeki noktaların sonsuzluğunun da bir kare içindeki noktaların sonsuzluğuna eşit olduğunu kanıtlayabiliriz. Bunu yapabilmek için verilen asıl kesri, üç parçaya ayırmamız gerekir (11) ve bu yöntemle elde edilen üç kesri, küpün içinde bulunan "nokta çifti"nin yerini belirlemekte kullanırız. Tıpkı uzunlukları farklı olan iki doğru durumunda olduğu gibi, büyüklükleri ne olursa olsun, bir kare ya da küp içindeki noktaların sayısı hep birbirinin aynıdır.Bütün geometrik noktaların sayısı bütün tam ve kesirli sayılarınsayısından büyükse de bu, matematikçilerce bilinen en büyük sayı değildir. Aslında en alışılmadık biçimler de içinde olmak üzere, olabilecek bütün eğri türleri, geometrik noktalar topluluğundan daha çok üyesi olan bir topluluk oluşturur ve böylece sonsuz dizisinin üçüncü sayısını belirlerler.

"Sonsuzlar Aritmetiği"nin yaratıcısı Georg Cantor'a göre, sonsuz sayılar, sağ alt köşesinde küçük bir tanıtım sayısı belirtmek koşuluyla, İbranice N (alef) harfiyle gösterilmiştir. Sayıların sırası (sonsuzlar da içinde olmak üzere!) şimdi şöyledir:
1. 2. 3.4. 5..............N1, N2, N3.........
ve şimdi "Dünyada 7 anakara vardır" ya da "Bir deste oyun kâğıdında 52 kâğıt vardır" dediğimiz gibi, "Bir doğruda N1 nokta vardır" ya da " N2 eğri vardır" diyebiliriz.
Sonsuz sayılar hakkındaki konuşmamızın sonuna geldiğimizde bu sayıların onlara uygulanması olanaklı olduğu düşünülebilen herhangi bir topluluğu kolayca aşacağını belirtelim. Stf'in bütün tamsayıların sayısını, K/'ın bütün geometrik noktaların sayısını ve N^'nin bütün eğrilerin sayısını simgelediğini biliyoruz. Ama şimdiye kadar K? ile gösterilebilecek sonsuz bir nesneler topluluğu tanımlanmamıştır. Düşünebildiğimiz her şeyi sayabilmek için bu ilk üç sonsuz sayı yeterliymiş gibi görünüyor ve şimdi kendimizi birçok oğlu olup da üçten öteye sayamayan eski Hotantolu dostumuz ile karşı karşıya buluyoruz!