Digama Fonksiyonu

mum · 22 Ocak 2018

Digama Fonksiyonu Nedir - Digama Fonksiyonu Hakkında - Özel Digama Fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

$1155c61f179f4034f778e80ffccb9ae5.png$

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

kompleks düzlem'de ψ(s) Digama fonksiyonu renkli bir s noktasına karşı kodlanan değer ψ(s). Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya
$2f057b6e514c8ca2d9cf9a3e549f8865.png$
(eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

$9115cbe4f0a1e2e7d8aba2ad6bdd2a2c.png$

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

$3d06267ce5e6ef90f0649e4d0cf95efb.png$

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

$ba6a67d7d46c73552c6ca764f19aea1f.png$
şeklindedir.

x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

$94c14df820efc5515b1801b2fc38a70f.png$

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

$0c05934e6a100755d4a3919daa1ba027.png$

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

$8d098d58db6ff5ad3a79a6a9f0db6d3c.png$

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

$50ac570f0b1e5c28a7a3dde7923fb9ef.png$

Burada
$0039b8d6f3a6ffbd45160036e0102b70.png$
binom katsayısı'dır

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

$2041c11ffc71a891fb99625a87433525.png$

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

$3ab5b17c305fbcdd11b8ee1280120e1c.png$

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

$3b05aa992d42e1ec553c927481c11530.png$

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

$eddb55ef77fb6cb68fcad552b54132b5.png$

burada
$44ddf6e825ef5a1ea521e708af7deb73.png$
Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

$b95d471f690b769451855b64812b2104.png$

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

$89e2134bc92c51db62940e2447bab98a.png$

Tamsayılar için 0 < m < k. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve Bn(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

$b1c453fef1cb24aab05772c83082dc6d.png$

ve genelleştirilmiş şekli

$e830324fad0e8c4820da3b739c7d590b.png$

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi [

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

$cfc1fb0ac747ab79751b03fb5ef57a98.png$

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

$e60019c796498b805ea6f36e8eb2a574.png$
veya

$209627a46d646139eb206a79ea4c546c.png$

$22b99e2b017ddd3753b8c0873cd502f0.png$

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

$6f30a98ea22860d251ccd26fca59e929.png$

$9cfb13707b0cb165748185fe39d71352.png$

$eed2142370847ebe08a9b1ad0c32cb13.png$

$6cd3105e298a41c9c401a91b3f0bdfd1.png$

$25ef83d4b74671d31e750724f74e0d45.png$

$927dda352d92cf48bff4e52a302c5fc4.png$

Arama Yap

Arama Yap

Digama Fonksiyonu

mum

Özel Üye