Beta Fonksiyonu

mum · 22 Ocak 2018

Beta Fonksiyonu Nedir - Beta Fonksiyonu Hakkında - Özel Beta Fonksiyonu

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

$6ff3c6de931d197b7990ac932d3fdfad.png$

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

$9773c6f6618743368747c8ae7f0b7e52.png$

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

$b64be6dbada1ed980741dba0489400da.png$

yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:

$82ca496ff32648b81803c55966e01738.png$

$918661286fea670b192be7090238ad1a.png$

$a64df3563d81e4e9d45b51e90453b2fd.png$

$4fd52537522d05d341f33ac22368a08e.png$

$a258bc7c577df57308cb9ab20fa51bbb.png$

$cb2adce4d913154d7a78e27f75fb3065.png$

Burada
$9c057f7e7e7e8a781beff7d4a3f30980.png$
gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

$bf3136255441039f8159b4db9b428544.png$

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir

$d8c2f725947c5ae3ae31494b3b6df771.png$

Ayrıca her n tamsayısı için, \Beta\,'nın k sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

$53c82939c14d4a252cf93a819095e373.png$

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

$343ce4ed90c82aee787a3932a012a454.png$

Şimdi,
$0d9773c9d62aa8f5d53e9c106638601e.png$
$ba860370ddb8e11d7fbca61c090e5f58.png$
yazalım,böylece

$b05702d8a5e8595bca98cc6a1716ed28.png$

Kutupsal koordinatlara dönüşümü a = rcosθ, b = rsinθ:

$49bf9f7e37d45761f05965ff168570b0.png$

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

$c468d068207cae65d47b4a479ca45b6c.png$

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

$f51f22d3c2127fe99a69ad8ed51302d4.png$
$ff0983e06dd02acef772cde37a765472.png$
sonuç kolayca:

$364f636b433ad5c342e1d5f69f807bb5.png$

Türevleri

türevleri sırasıyla:

$fbf423037e3f57feb41e3c5db46b35ce.png$

burada
$7c7c5f2287c5cde3e560e1e1e9fc14f2.png$
digama fonksiyonu'dur.

Integralleri

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

$3253e5ad84ad1a49963b7df59287e3fa.png$

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

$3938c9aef63497224502864594a58915.png$

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

$a54ec53ae11d6d7892450d906ca9e185.png$

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

$6a44f7ad645626c8b91d743d8e5560ac.png$

a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

$c26b9e4cb7bb0344d93b722ed22605ef.png$

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

$287144f90858ff2b696def3e5dcabb82.png$

Özellikler

$015987d68f257ef71621f9c73b4f6356.png$

$6dee109c6ea5440b9a8f72be231dd78b.png$

$1949d223b66dd51fd5b35283bd5bb6bf.png$

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Arama Yap

Arama Yap

Beta Fonksiyonu

mum

Özel Üye